demonsan, Я бы так сделала
<?php
session_start();
include ('db.php');

if (isset($_POST)) {
$first_name = mysql_real_escape_string($_POST['first_name']);
$first_name = trim($first_name); // удаляем лишние пробелы
if (!empty($first_name)) {
mysql_query("insert into `user` set `first_name`='".$first_name."'";
$_SESSION['mess'] = 'Сообщение добавлено!';
} else {
$_SESSION['mess'] = 'Введите текст';
}
header("Location: ?";
exit;
}

if (isset($_SESSION['mess'])) {
echo $_SESSION['mess'];
unset($_SESSION['mess']);
}
$result=mysql_query('SELECT * FROM `user`'); // запрос на выборку

while($row=mysql_fetch_array($result))

{

echo '<p> Текст: '.$row['first_name'].'</p>';// выводим данные

}



?>

Rubmay, Обнови страницу, после записи в БД.
Вставь код:
<?php
header("Location: ?";
?>

demonsan,
<?php



include ('db.php');



$first_name = mysql_real_escape_string($_POST['first_name']);
$first_name = trim($first_name); // удаляем лишние пробелы


if (!empty($first_name)) {
if (mysql_query("insert into `user` set `first_name`='".$first_name."'"){

echo 'Сообщение добавлено!';

} else {

echo '$first_name';

}
} else {
echo 'Введите текст';
}

$result=mysql_query('SELECT * FROM `user`'); // запрос на выборку

while($row=mysql_fetch_array($result))

{

echo '<p> Текст: '.$row['first_name'].'</p>';// выводим данные

}



?>

код скинь